není pochyb o tom, že matematika dnes dluží obrovský dluh k nesplaceným příspěvkům indických matematiků po mnoho stovek let. Co je docela překvapivé, je, že tam byla neochota uznat to a člověk musí dojít k závěru, že mnoho slavných historiků matematiky našel to, co očekávali najít, nebo možná dokonce to, co doufali najít, spíše než si uvědomit, co bylo tak jasné, před nimi.
budeme zkoumat příspěvky indické matematiky v tomto článku, ale než se podíváme na tento příspěvek podrobněji, měli bychom jasně říci, že „obrovský dluh“ je krásný číselný systém vynalezený indiány, na kterém spočívala velká část matematického vývoje. Laplace to uvedl s velkou jasností: –

důmyslná metoda vyjádření všech možných čísel pomocí sady deseti symbolů (každý symbol má hodnotu místa a absolutní hodnotu) se objevila v Indii. Myšlenka se dnes zdá být tak jednoduchá, že její význam a hluboký význam již není oceňován. Jeho jednoduchost spočívá ve způsobu, jakým usnadnil výpočet a umístil aritmetiku především mezi užitečné vynálezy. význam tohoto vynálezu je snadněji oceněn, když se domníváme, že to bylo za dvěma největšími muži starověku, Archimedes a Apollonius.

krátce se podíváme na Indický vývoj desítkové soustavy čísel místo-hodnota později v tomto článku a poněkud podrobněji v samostatném článku indické číslice. Nejprve se však vrátíme k prvním důkazům o vývoji matematiky v Indii.
historie indické matematiky začínala popisem geometrie obsažené v Sulbasutrách, ale výzkum historie indické matematiky ukázal, že základy této geometrie byly starší a byly obsaženy v oltářních konstrukcích popsaných v textu védské mytologie Shatapatha Brahmana a Taittiriya Samhita. Také bylo prokázáno, že studium matematické astronomie v Indii sahá nejméně do třetího tisíciletí před naším letopočtem a matematika a geometrie musely existovat na podporu této studie v těchto dávných dobách.
první matematika, kterou popíšeme v tomto článku vyvinutém v údolí Indus. Nejdříve známá městská Indická kultura byla poprvé identifikována v roce 1921 v Harappě v Paňdžábu a poté o rok později v Mohenjo-daru poblíž řeky Indus v Sindhu. Obě tyto stránky jsou nyní v Pákistánu, ale toto je stále pokryto naším termínem „Indická matematika“, který, v tomto článku, odkazuje na matematiku vyvinutou na indickém subkontinentu. Indus civilizace (nebo Harappan civilizace, jak to je někdy známé) byla založena v těchto dvou městech a také ve více než stovce malých měst a vesnic. Byla to civilizace, která začala kolem roku 2500 a přežila až do roku 1700 nebo později. Lidé byli gramotní a používali písemný skript obsahující kolem 500 znaků, které někteří tvrdili, že dešifrovali, ale zdaleka není jasné,že tomu tak je, zbývá ještě mnoho výzkumu, než bude možné plně posoudit matematické úspěchy této starověké civilizace.
často myslíme na Egypťany a Babyloňany jako na vrchol civilizace a matematických dovedností kolem období Indus civilizace, přesto V G Childe v novém světle na nejstarším východě (1952) napsal:-

Indie konfrontuje Egypt a Babylonii do 3. Tisíciletí s vlastní zcela individuální a nezávislou civilizací, technicky vrstevníkem ostatních. A zjevně je hluboce zakořeněn v indické půdě. Indus civilizace představuje velmi dokonalé přizpůsobení lidského života specifickému prostředí. A vydržel; je již specificky indický a tvoří základ moderní indické kultury.

víme, že harappané přijali jednotný systém vah a měr. Analýza zjištěných hmotností naznačuje, že patří do dvou řad, které mají desetinnou povahu, přičemž každé desetinné číslo se vynásobí a vydělí dvěma, přičemž pro hlavní poměry sérií 0.05, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, a 500. Během vykopávek bylo také objeveno několik měřítek pro měření délky. Jedním z nich byla desetinná stupnice založená na měrné jednotce 1,32 palce (3,35 centimetrů), která se nazývá „Indus inch“. Samozřejmě deset jednotek je pak 13, 2 palce, což je docela uvěřitelné jako míra „nohy“. Podobné opatření založené na délce nohy je přítomno v jiných částech Asie i mimo ni. Další měřítko bylo objeveno, když byla nalezena bronzová tyč, která byla označena v délkách 0,367 palce. Je jistě překvapující přesnost, s jakou jsou tyto váhy označeny. Nyní 100 jednotek tohoto opatření je 36,7 palce, což je míra kroku. Měření ruin budov, které byly vykopány, ukazují, že tyto jednotky délky byly harappany přesně použity ve stavebnictví.
není jasné, co přesně způsobilo úpadek harappanské civilizace. Historici navrhli čtyři možné příčiny: změna klimatických vzorců a následná zemědělská krize; klimatická katastrofa, jako jsou záplavy nebo silné sucho; nemoc šířená epidemií; nebo invaze indoárijských národů ze severu. Oblíbená teorie bývala poslední ze čtyř,ale nedávné názory upřednostňují jednu z prvních tří. Co je jistě pravda, je, že nakonec indoárijské národy ze severu se rozšířil po celém regionu. To nás přivádí k nejstaršímu literárnímu záznamu indické kultury, Véd, které byly složeny ve védském sanskrtu, mezi 1500 a 800 . Zpočátku byly tyto texty, skládající se z hymnů, kouzel a rituálních pozorování, předávány ústně. Později se Texty staly psanými díly pro ty, kteří praktikují védské náboženství.
další matematika důležitosti na indickém subkontinentu byla spojena s těmito náboženskými texty. Skládala se ze Sulbasutrů, které byly dodatky k Véd, které dávaly pravidla pro stavbu oltářů. Obsahovaly poměrně velké množství geometrických znalostí, ale matematika byla vyvíjena, ne pro vlastní potřebu, ale čistě pro praktické náboženské účely. Matematika obsažená v těchto textech je podrobně studována v samostatném článku o Sulbasutrech.
hlavní Sulbasutry byly složeny Baudhayana (asi 800 ), Manava (asi 750 ), Apastamba (asi 600 ) a Katyayana(asi 200 ). Tito muži byli oba kněží a učenci, ale nebyli matematici v moderním smyslu. Přestože o těchto mužích nemáme žádné informace kromě textů, které napsali, Zahrnuli jsme je do našich biografií matematiků. Existuje další učenec, který opět nebyl matematikem v obvyklém smyslu, který žil kolem tohoto období. To byl Panini, který dosáhl pozoruhodných výsledků ve studiu sanskrtské gramatiky. Nyní by se člověk mohl rozumně ptát, co má sanskrtská gramatika společného s matematikou. Určitě to má něco společného s moderní teoretickou informatikou, protože matematik nebo Informatik pracující s teorií formálního jazyka pozná, jak moderní jsou některé Paniniho myšlenky.
před koncem období Sulbasutrů, kolem poloviny třetího století před naším letopočtem, se začaly objevovat Brahmi číslice.

zde je jeden styl Brahmi číslic:

Jedná se o nejstarší číslice, které se po mnoha změnách nakonec vyvinuly do číslic 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 používá se dnes. Vývoj číslic a místně hodnotných číselných systémů je studován v článku indické číslice.
védské náboženství se svými obětními obřady začalo slábnout a Jiná náboženství ho začala nahrazovat. Jedním z nich byl Jainismus, náboženství a filozofie, která byla založena v Indii kolem 6. století před naším letopočtem. Ačkoli období po úpadku védského náboženství až do doby Aryabhata i kolem roku 500 nl bývalo v indické matematice považováno za temné období, nedávno bylo uznáno jako doba, kdy bylo zvažováno mnoho matematických myšlenek. Ve skutečnosti Aryabhata je nyní myšlenka jako shrnující matematický vývoj Jaina, stejně jako začátek další fáze.
hlavními tématy Jaina matematiky v okolí 150 byly: teorie čísel, aritmetické operace, geometrie, operace se zlomky, jednoduché rovnice, kubické rovnice, kvartické rovnice a permutace a kombinace. Více překvapivě Jaina vyvinula teorii nekonečna obsahující různé úrovně nekonečna, primitivní chápání indexů, a nějaký pojem logaritmů k základně 2. Jedním z obtížných problémů, kterým čelí historici matematiky, je rozhodování o datu bakhshaliho rukopisu. Pokud se jedná o dílo, které je skutečně z roku 400 NL, nebo v každém případě kopie díla, které bylo původně napsáno v této době, pak naše chápání úspěchů Jaina matematiky bude výrazně posílena. I když existuje tolik nejistoty ohledně data, téma plně diskutované v našem článku o rukopisu Bakhshali, pak bychom se měli vyhnout přepisování historie období Jaina ve světle matematiky obsažené v tomto pozoruhodném dokumentu.
na tomto odkazu si můžete prohlédnout samostatný článek o matematice Jaina.
pokud védské náboženství vedlo ke studiu matematiky pro konstrukci obětních oltářů, pak to byla Jaina kosmologie, která vedla k myšlenkám nekonečna v Jaina matematice. Pozdější matematické pokroky byly často poháněny studiem astronomie. Možná by bylo přesnější říci, že astrologie tvořila hnací sílu, protože to byla ta“ věda“, která vyžadovala přesné informace o planetách a jiných nebeských tělech, a tak povzbudila rozvoj matematiky. Náboženství také hrálo hlavní roli v astronomických vyšetřováních v Indii, protože přesné kalendáře musely být připraveny, aby umožnily náboženské dodržování ve správný čas. Matematika pak byla ještě aplikovaná věda v Indii po mnoho staletí se matematici vyvíjí metody k řešení praktických problémů.
Yavanesvara, ve druhém století našeho letopočtu, hrál důležitou roli v popularizaci astrologie, když přeložil řecký astrologický text z roku 120 . Kdyby udělal doslovný překlad, je pochybné, zda by to bylo zajímavé pro více než několik akademicky smýšlejících lidí. Zpopularizoval text, nicméně, resetováním celého díla do indické kultury pomocí hinduistických obrazů s indickým kastovním systémem integrovaným do jeho textu.
asi 500 nl klasická éra indické matematiky začala prací Aryabhaty. Jeho práce byla jak shrnutí Jaina matematiky a začátek nové éry pro astronomii a matematiku. Jeho představy o astronomii byly opravdu pozoruhodné. Nahradil dva démony Rahu, Dhruva Rahu, který způsobuje Fáze měsíce, a Parva Rahu, který způsobuje zatmění zakrytím měsíce nebo slunce nebo jejich světla, moderní teorií zatmění. On představil trigonometrie, aby se jeho astronomické výpočty, na základě řecké teorie epicycle, a on řešil s celočíselnými řešeními neurčité rovnice, které vznikly v astronomických teoriích.
Aryabhata vedl výzkumné centrum pro matematiku a astronomii v Kusumapuře na severovýchodě indického subkontinentu. Tam vyrostla škola, která studovala jeho myšlenky, ale víc než to, Aryabhata stanovil agendu matematického a astronomického výzkumu v Indii po mnoho staletí. Další matematické a astronomické centrum bylo v Ujjainu, také na severu indického subkontinentu, který vyrostl přibližně ve stejnou dobu jako Kusumapura. Nejdůležitější z matematiků v tomto druhém centru byl Varahamihira, který také významně přispěl k astronomii a trigonometrii.
hlavní myšlenky matematiky Jaina, zejména ty, které se týkají její kosmologie s vášní pro velká konečná čísla a nekonečná čísla, pokračovaly v rozkvětu s učenci, jako je Yativrsabha. Byl současníkem Varahamihiry a mírně starší Aryabhaty. Měli bychom také poznamenat, že obě školy v Kusumapuře a Ujjainu se podílely na pokračujícím vývoji číslic a číselných systémů. Další významnou postavou na Ujjainské škole byl Brahmagupta na začátku sedmého století našeho letopočtu a svým pozoruhodným příspěvkem k záporným číslům a nule by jedním z nejvýznamnějších příspěvků k rozvoji číselných systémů .. Je to vytrvalá myšlenka, že o osm set let později se Evropská matematika bude snažit zvládnout bez použití záporných čísel a nuly.
to rozhodně nebyly Brahmaguptovy jediné příspěvky k matematice. Daleko od toho udělal další významné příspěvky k pochopení celočíselných řešení neurčitých rovnic a interpolačních vzorců vynalezených na pomoc při výpočtu sinusových tabulek.
způsob, jakým příspěvky těchto matematiků byly vyvolány studiem metod ve sférické astronomii, je popsán v : –

Hinduističtí astronomové neměli obecnou metodu řešení problémů ve sférické astronomii, na rozdíl od Řeků, kteří systematicky sledovali metodu Ptolemaia, založenou na známé větě Menelause. Ale pomocí vhodných konstrukcí v armilární sféře dokázali snížit mnoho svých problémů na srovnání podobných pravoúhlých rovinných trojúhelníků. Kromě tohoto zařízení někdy také používali teorii kvadratických rovnic nebo aplikovali metodu postupných aproximací. … Z metod, které učil Aryabhata a demonstroval jeho scholiast Bhaskara I, některé jsou založeny na srovnání podobných pravoúhlých rovinných trojúhelníků, a jiné jsou odvozeny z odvození. Brahmagupta je pravděpodobně nejstarší astronom, který použil teorii kvadratických rovnic a metodu postupných aproximací k řešení problémů ve sférické astronomii.

než budeme pokračovat v popisu vývoje v klasickém období, měli bychom vysvětlit mechanismy, které umožnily matematice vzkvétat v Indii během těchto staletí. Vzdělávací systém v Indii v této době neumožňoval talentovaným lidem se schopností absolvovat školení v matematice nebo astronomii. Spíše celý vzdělávací systém byl založen na rodině. Existovala řada rodin, které nesly tradice astrologie, astronomie a matematika kupředu vzděláváním každé nové generace rodiny v dovednostech, které byly vyvinuty. Měli bychom také poznamenat, že astronomie a matematika se vyvíjely samostatně, odděleně pro rozvoj dalších oblastí znalostí.
nyní by „matematická rodina“ měla knihovnu, která obsahovala psaní předchozích generací. Tyto spisy by s největší pravděpodobností byly komentáři k dřívějším dílům, jako je Aryabhatiya z Aryabhaty. Mnoho komentářů by byly komentáře k komentářům k komentářům atd. Matematici často psali komentáře k vlastní práci. Jejich cílem by nebylo poskytnout texty, které mají být použity při vzdělávání lidí mimo rodinu, ani by nehledali inovativní nápady v astronomii. Klíčem bylo opět náboženství, protože astronomie byla považována za božského původu a každá rodina by zůstala věrná odhalením předmětu, jak je prezentovali jejich bohové. Hledat zásadní změny by bylo nemyslitelné, protože žádat ostatní, aby takové změny přijali, by v podstatě žádalo, aby změnili náboženské přesvědčení. Zdá se, že ani tito muži nedělali astronomická pozorování žádným systematickým způsobem. Některé texty tvrdí, že vypočtená data v nich prezentovaná jsou v lepší shodě s pozorováním než jejich předchůdci, ale navzdory tomu se nezdá, že by byl vytvořen hlavní pozorovací program. Paramesvara na konci čtrnáctého století se zdá být jedním z prvních indických matematiků, kteří systematicky pozorovali po mnoho let.
Matematika však byla v jiné pozici. Byl to pouze nástroj používaný pro astronomické výpočty. Pokud by člověk mohl produkovat inovativní matematické myšlenky, pak by mohl snadněji vykazovat pravdy astronomie. Matematika proto musela vést ke stejným odpovědím, jaké bylo dosaženo dříve, ale bylo jistě dobré, kdyby je mohla dosáhnout snadněji nebo s větší jasností. To znamenalo, že navzdory tomu, že matematika byla používána pouze jako výpočetní nástroj pro astronomii, brilantní Indičtí učenci byli povzbuzováni svou kulturou, aby vložili svůj génius do pokroku v tomto tématu.
současník Brahmagupty, který vedl výzkumné centrum v Ujjainu, byl Bhaskara I., který vedl školu Asmaka. Tato škola by měla studovat díla Aryabhata jako jejich hlavní zájem a určitě Bhaskara byl komentátor na matematiku Aryabhata. Více než 100 let poté, co Bhaskara žil astronom Lalla, další komentátor Aryabhata.
deváté století vidělo matematický pokrok s učenci jako Govindasvami, Mahavira, Prthudakasvami, Sankara a Sridhara. Někteří z nich, jako Govindasvami a Sankara, byli komentátory textu Bhaskary I., zatímco Mahavira byl známý svou aktualizací Brahmaguptovy knihy. V tomto období došlo k vývoji sinusových tabulek, řešení rovnic, algebraické notace, kvadratiky, neurčitých rovnic a vylepšení číselných systémů. Agenda byla stále v podstatě ta, kterou stanovil Aryabhata, a témata, která se rozvíjejí v jeho práci.
hlavními matematiky desátého století v Indii byli Aryabhata II a Vijayanandi, oba přidávali k pochopení sinusových tabulek a trigonometrie na podporu jejich astronomických výpočtů. V jedenáctém století byli Sripati a Brahmadeva hlavními postavami, ale možná nejvýraznější ze všech byl Bhaskara II ve dvanáctém století. Pracoval na algebře, číselných systémech a astronomii. Napsal krásné texty ilustrované matematickými problémy, z nichž některé uvádíme ve své biografii, a poskytl nejlepší shrnutí matematiky a astronomie klasického období.
Bhaskara II může být považován za vrchol indické matematiky, ale najednou to bylo vše, co bylo známo: –

po dlouhou dobu si západní učenci mysleli, že indiáni neudělali žádnou původní práci až do doby Bhaskary II. To je daleko od pravdy. Růst indické matematiky se nezastavil ani u Bhaskary II. Poměrně málo výsledků indických matematiků bylo znovu objeveno Evropany. Například vývoj teorie čísel, teorie neurčitých výrazů nekonečných řad pro sinus, kosinus a tečnu, výpočetní matematika atd.

po Bhaskara II tam bylo více než 200 let předtím, než jakékoliv jiné významné příspěvky k matematice byly provedeny na indickém subkontinentu. Ve skutečnosti se po dlouhou dobu předpokládalo, že Bhaskara II představoval konec matematického vývoje na indickém subkontinentu až do moderní doby. Ve druhé polovině čtrnáctého století však Mahendra Suri napsal první indické pojednání o astrolábu a Narayana napsal důležitý komentář k Bhaskara II, významně přispívá k algebře a magickým čtvercům. Nejpozoruhodnější příspěvek z tohoto období, nicméně, byl Madhava, který vynalezl Taylorovu řadu a přísnou matematickou analýzu v některých inspirovaných příspěvcích. Madhava pocházel z Keraly a jeho práce tam inspirovala školu následovníků, jako jsou Nilakantha a Jyesthadeva.
některé z pozoruhodných objevů matematiků Kerala jsou popsány v. Patří mezi ně: vzorec pro ekliptiku; Newton-Gaussův interpolační vzorec; vzorec pro součet nekonečné řady; Lhuilierův vzorec pro obvod cyklického čtyřúhelníku. Zvláště zajímavá je aproximace hodnoty π \ pin, která byla první, která byla provedena pomocí řady. Madhavův výsledek, který dal řadu pro π \ pin, přeložený do jazyka moderní matematiky, čte

nR=4R-4R3+4R5 -…\pi R = 4R- \ large \ frac{4R}{3}\normalsize + \ large \ frac{4R}{5}\normalsize – …nR=4R-34R+54R−…

tento vzorec, stejně jako několik dalších uvedených výše, byl znovu objeven evropskými matematiky o několik století později. Madhava také dal další vzorce pro π \ pin, z nichž jeden vede k aproximaci 3.14159265359.
první člověk v moderní době si uvědomit, že matematici Kerala očekával některé z výsledků Evropanů na počtu téměř 300 let byl Charles Whish v roce 1835. Whishova publikace v transakcích Královské asijské společnosti Velké Británie a Irska byla historiky matematiky v podstatě bez povšimnutí. Pouze o 100 let později v roce 1940 se historici matematiky podrobně podívali na díla matematiků Keraly a zjistili, že pozoruhodná tvrzení Whish byla v podstatě pravdivá. Viz například . Vskutku Kerala matematici měli, Jak whish napsal: –

… položil základy pro kompletní systém fluxionů …

a tato díla: –

… oplývají fluxionálními formami a sériemi, které se nenacházejí v žádné práci cizích zemí.

v této době došlo v Kerale k dalším významným pokrokům. Citrabhanu byl matematik šestnáctého století z Keraly, který dal celočíselná řešení dvacet jedna typů systémů dvou algebraických rovnic. Tyto typy jsou všechny možné páry rovnic následujících sedmi forem:

x+y=a,x−y=b,xy=c,x2+y2=d,x2−y2=e,x3+y3=fx + y = a, x – y = b, xy = c, x^{2} + y^{2} = d, x^{2} – y^{2} = e, x^{3} + y^{3} = fx+y=a,x−y=b,XY=C,x2+y2=d,x2−y2=e,x3+Y3=f a X3−Y3=Gx^{3} – Y^{3} = GX3−Y3=g.

pro každý případ Citrabhanu uvedl vysvětlení a zdůvodnění své vlády i příklad. Některé z jeho vysvětlení jsou algebraické, zatímco jiné jsou geometrické. Viz další podrobnosti.
nyní jsme představili druhou část historie indické matematiky nepravděpodobným způsobem. To, že by v podstatě nedošlo k žádnému pokroku mezi příspěvky Bhaskary II a inovacemi Madhavy, který byl mnohem inovativnější než kterýkoli jiný indický matematik produkující zcela nový pohled na matematiku, se zdá nepravděpodobné. Mnohem pravděpodobnější je, že si neuvědomujeme příspěvky za toto 200leté období, které musely poskytnout základy, na nichž Madhava postavil své teorie.
naše chápání příspěvků indických matematiků se v posledních několika desetiletích výrazně změnilo. Je třeba udělat mnohem více práce, abychom dále porozuměli příspěvkům matematiků, jejichž práce byla bohužel ztracena, nebo možná ještě horší, byla ignorována. Nyní se skutečně pracuje a brzy bychom měli lépe porozumět této důležité části dějin matematiky.

Posted on

Napsat komentář

Vaše e-mailová adresa nebude zveřejněna.